Question

18．已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=2，$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，a_n=log₂（b_n+1-b_n），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，由首项a₁=2，$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等比数列，可得$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}=\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{4}}$，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由a_n=log₂（b_n+1-b_n），化为b_n+1-b_n=2²ⁿ=4ⁿ，利用“累加求和”可得b_n．再利用等比数列的前n项和公式即可得出：数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵首项a₁=2，$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}=\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{4}}$，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，
∴（2+d）²=2（2+3d），化为d²-2d=0，解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）∵a_n=log₂（b_n+1-b_n），
∴b_n+1-b_n=2²ⁿ=4ⁿ，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₄-b₃）+（b₃-b₂）+（b₂-b₁）+b₁=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+1
=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}×{4}^{n}-\frac{1}{3}$．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{3}×\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$-$\frac{1}{3}n$=$\frac{{4}^{n+1}}{9}$-$\frac{1}{3}n$-$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查了“累加求和”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．