Question

7．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为正三角形，AA₁⊥底面ABC，E是AB的中点，F是BC₁的中点．下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．
①EF∥平面ACC₁A₁；
②平面CEF⊥平面 ABB₁A₁；
③平面CEF截该三棱柱所得大小两部分的体积比为11：1；
④若该三棱柱有内切球，则AB=$\sqrt{3}$BB₁；
⑤若BB₁上有唯一点G，使得A₁G⊥CG，则BB₁=$\sqrt{2}$AB．

Answer 1

分析 由条件利用直线和平面平行的判定定理，可得①正确；由条件利用平面和平面平行的判定定理可得②正确；用分割法求几何体的体积，可得③正确；设内切球的半径为r，则棱AA₁ 到平面BCC₁B₁的距离等于2r，且也等于原棱柱的高，求得$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=BB₁，可得④不正确；根据以A₁C 为直径的球和棱BB₁相切，求得BB₁=$\sqrt{2}$AB，故⑤正确，从而得出结论．

解答 解：对于①，由题意可得，EF为△BAC₁的中位线，故有EF∥AC₁，而AC₁?平面 ABB₁A₁，EF?平面 ABB₁A₁，∴EF∥平面ACC₁A₁，故①正确．
对于②，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ABB₁A₁⊥平面ABC，平面 ABB₁A₁∩ABC=AB，CE⊥AB，CE?平面ABC，∴CE⊥平面 ABB₁A₁．
再根据CE平面CEF，可得平面CEF⊥平面 ABB₁A₁，故②正确．
对于③，平面CEF截该三棱柱所得大小两部分，设原棱柱的高为x，底面积为s，则较小的部分为三棱锥F-BCE，它的体积为 $\frac{1}{3}$S_△BCE•$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$s•$\frac{x}{2}$，
故较大部分的体积sx=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$s•$\frac{x}{2}$=$\frac{11}{12}$sx，故平面CEF截该三棱柱所得大小两部分的体积比为11：1，故③正确．
对于④，若该三棱柱有内切球，设内切球的半径为r，则棱AA₁ 到平面BCC₁B₁的距离等于2r，且原棱柱的高也都等于2r，
故有2r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=BB₁，故④不正确．
对于⑤，若BB₁上有唯一点G，使得A₁G⊥CG，则以A₁C 为直径的球和棱BB₁相切，故求得半径$\frac{{A}_{1}C}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
即 $\frac{\sqrt{{{BB}_{1}}^{2}{+AB}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，化简可得BB₁=$\sqrt{2}$AB，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．

点评 本题主要考查棱柱的结构特征，直线和平面平行、垂直的判定、性质，平面和平面平行的判定定理，用分割法求几何体的体积，以及点到平面的距离、直线到平面的距离的转化，属于中档题．