Question

5．斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁⊥侧面ACC₁A₁，A₁B=AB=AA₁=AC=2，四边形ACC₁A₁的面积为2$\sqrt{3}$，且∠AA₁C₁为锐角．
（1）求证：AA₁⊥BC₁；
（2）求该斜三棱柱的体积．

Answer 1

分析 （1）要证：AA₁⊥BC₁，先说明△AA₁B是等边三角形，设D是AA₁的中点、连接BD，C₁D，证明AA₁⊥平面BC₁D，即可．
（2）求该斜三棱柱的体积，转化为直截面的面积和高的积，即可求解．

解答 （1）证明：由题意△AA₁B是等边三角形．（2分）
设D是AA₁的中点、连接BD，C₁D，
则BD⊥AA₁，
由四边形ACC₁A₁的面积为2$\sqrt{3}$，且∠AA₁C₁为锐角，可得∠AA₁C₁=60°，
所以△AA₁C₁是等边三角形，
且C₁D⊥AA₁，所以AA₁⊥平面BC₁D．（6分）
又BC₁?平面BC₁D，故AA₁⊥BC₁．（7分）
（2）解：由（1）知AA₁⊥平面BC₁D（9分），
由（1）知BD⊥AA₁，又侧面ABB₁A₁⊥侧面AA₁C₁C，
所以BD⊥平面AA₁C₁C，
即BD⊥BC₁，
△BC₁D中，BD=BC₁=$\sqrt{3}$，${S}_{△B{C}_{1}D}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$（13分）
故该斜三棱柱的体积为$\frac{3}{2}×2$=3．（14分）

点评 本题考查直线与平面的垂直，棱锥的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．