Question

20．某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为R的圆面，图中圆内接四边形ABCD为拟定拆迁的棚户区，测得AB=AD=4百米，BC=6百米，CD=2百米．
（1）请计算原棚户区ABCD的面积及圆面的半径R；
（2）因地理条件的限制，边界AD，CD不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧ABC上求出一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．（注：圆的内接四边形对角互补）

Answer 1

分析 （1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径；
（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．

解答 解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，
所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：
AC²=4²+6²-2×4×6×cos∠ABC
=4²+2²-2×2×4cos∠ADC、
所以cos∠ABC=$\frac{1}{2}$，∵∠ABC∈（0°，180°），
故∠ABC=60°．
S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$×4×6×sin60°+$\frac{1}{2}$×2×4×sin120°
=8$\sqrt{3}$（万平方米）．
在△ABC中，由余弦定理：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=16+36-2×4×6×$\frac{1}{2}$．
AC=2$\sqrt{7}$．
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=2R，
∴2R=$\frac{AC}{sin∠ABC}$=$\frac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$，
∴R=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$（万米）；
（2）∵S_{四边形APCD}=S_△ADC+S_△APC，
又S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•CD•sin120°=2$\sqrt{3}$，
设AP=x，CP=y．
则S_△APC=$\frac{1}{2}$xy•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$xy．
又由余弦定理AC²=x²+y²-2xycos60°
=x²+y²-xy=28．
∴x²+y²-xy≥2xy-xy=xy．
∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号．
∴S_{四边形APCD}=2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$xy≤2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×28=9$\sqrt{3}$，
∴当P为圆弧ABC的中点时，四边形APCD的面积最大，且为9$\sqrt{3}$万平方米．

点评 本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式求最值．考查了基础知识的综合运用．