Question

5．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的准线截圆C₂：x²+y²=1所得的弦长为$\sqrt{3}$．
（1）求抛物线C₁ 的方程；
（2）倾斜角为$\frac{π}{4}$且经过点（2，0）的直线l与抛物线C₁相交于A、B两点，求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）利用弦心距、半弦长与半径之间的关系计算即得结论；
（2）通过设直线l的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量数量积计算即得结论．

解答 （1）解：∵抛物线C₁的直线方程为：x=-$\frac{p}{2}$，
∴圆心（0，0）到其距离为$\frac{p}{2}$，
由已知得2$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{p}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，解得p=1，
∴抛物线C₁ 的方程为：y²=2x；
（2）证明：直线l的方程为：y=x-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，消去y得：x²-6x+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理知：x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）
=x₁x₂+（x₁-2）（x₂-2）
=2x₁x₂-2（x₁+x₂）+4
=2×4-2×6+4=0，
∴OA⊥OB．

点评 本题考查求抛物线方程，考查直线与直线的垂直关系，注意解题方法的积累，属于中档题．