Question

10．定义运算“•”如下：x•y=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≥y}\\{y，x＜y}\end{array}\right.$，若函数f（x）=m-（1-2^x）•（2^x-2）有两个零点，则（　　）

• A． m∈（-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． m∈（-$\frac{1}{2}$，1）
• C． m∈[-$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． m∈[-$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 根据新定义化简函数y=（1-2^x）•（2^x-2）的解析式，根据指数函数的图象与图象的平移变换画出函数的图象，并求出函数的最值，把条件转化为两个函数图象的交点问题，根据图象求出m的范围．

解答 解：由题意得，y=（1-2^x）•（2^x-2）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{2}^{x}，{2}^{x}≤\frac{3}{2}}\\{{2}^{x}-2，{2}^{x}＞\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
根据指数函数的图象与图象的平移变换画出上面函数的图象：
把2^x=$\frac{3}{2}$代入1-2^x=$-\frac{1}{2}$，
所以图象最低点的纵坐标是：$-\frac{1}{2}$，
因为f（x）=m-（1-2^x）•（2^x-2）有两个零点，
所以y=m与y=（1-2^x）•（2^x-2）的图象有两个交点，
即m的取值范围是：（$-\frac{1}{2}$，1），
故选：B．

点评 本题考查函数零点的转化问题，指数函数的图象与图象的平移，考查数形结合思想和转化思想，属于中档题．