Question

2．已知a＞0，a≠1，命题p：y=log_a（x+1）在（0，+∞）上单调递减，命题q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先根据对数函数的单调性，和二次函数图象和x轴交点的情况与判别式的关系即可求出命题p，q下的a的取值范围．根据p∧q为假，p∨q为真即可判断p，q的真假情况，根据p，q的真假情况即可求出a的取值范围．

解答 解：p：∵函数y=log_a（x+1）在（0，+∞）上单调递减；
∴0＜a＜1；
q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点；
∴△=（2a-3）²-4＞0，解得a＜$\frac{1}{2}$，或a＞$\frac{5}{2}$；
∵p∧q为假，p∨q为真，
∴p，q一真一假；
若p真q假，则：0＜a＜1，且$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤a＜1；
若p假q真，则：a＞1，且a＜$\frac{1}{2}$，或a＞$\frac{5}{2}$，
∴a＞$\frac{5}{2}$；
∴实数a的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 本题考查对数函数的单调性，二次函数图象和x轴交点的情况与判别式△的关系，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系．