Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦点分别为F₁，F₂，抛物线y²=4$\sqrt{2}$x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆O：x²+y²=$\frac{2}{3}$的切线l与椭圆相交于A，B两点，证明：以AB为直径的圆必经过原点．

Answer 1

分析 （1）通过$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、抛物线y²=4$\sqrt{2}$x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点，计算即得结论；
（2）分直线l的斜率不存在、直线l的斜率为0、直线l的斜率存在且不为0三种情况讨论，利用韦达定理计算即得结论．

解答 （1）解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$c，
∵抛物线y²=4$\sqrt{2}$x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点，
∴a=$\sqrt{2}$，∴c=b=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，
∵直线l与圆O相切，∴直线方程为：x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$或x=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
Ⅰ．联立$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$与x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得：A（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴以AB为直径的圆的方程为：（x-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²+y²=$\frac{2}{3}$；
Ⅱ．联立$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$与x=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得：A（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴以AB为直径的圆的方程为：（x+$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²+y²=$\frac{2}{3}$；
综合Ⅰ、Ⅱ可知两圆过定点（0，0）；
②当直线l的斜率为0时，
∵直线l与圆O相切，∴切线方程为：y=$\frac{\sqrt{6}}{3}$或y=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
Ⅰ．联立$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$与y=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得：A（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴以AB为直径的圆的方程为：x²+（y+$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²=$\frac{2}{3}$；
Ⅱ．联立$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$与y=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得：A（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴以AB为直径的圆的方程为：x²+（y-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²=$\frac{2}{3}$；
综合Ⅰ、Ⅱ，显然过定点（0，0）；
③当直线l的斜率存在且不为0时，联立$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$与y=kx+m，
消去y得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理知：x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3{m}^{2}-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即m²=$\frac{2}{3}$（1+k²），从而$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
显然以AB为直径的圆经过原点；
综合①②③可知：以AB为直径的圆必经过原点．

点评 本题考查求椭圆方程，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．