Question

9．设函数f（x）=lnx，h（x）=f（x）+mf′（x）．
（1）求函数h（x）单调区间；
（2）当m=e（e为自然对数的底数）时，若h（n）-h（x）＜$\frac{e}{n}$对?x＞0恒成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意先求函数h（x）的定义域，再求导h′（x），从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；
（2）由h（n）-h（x）＜$\frac{e}{n}$转化为$lnn＜lnx+\frac{e}{x}$，即$lnn＜（lnx+\frac{e}{x}）_{min}$成立，利用导数求出
$g（x）=lnx+\frac{e}{x}$在（0，e）上的最小值即可．

解答 解：（1）${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}$，
h（x）=$lnx+\frac{m}{x}$，定义域为（0，+∞）
${h}^{′}（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{x-m}{{x}^{2}}$
当m≤0时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，此时h（x）在（0，+∞）单调递增，
当m＞0时，在（0，m）上h′（x）＜0，此时h（x）在（0，m）单调递减，
在（m，+∞）上h′（x）＞0，h（x）在（m，+∞）上单调递增，
综上：当m≤0时，h（x）在（0，+∞）单调递增，
当m＞0时，h（x）在（0，m）单调递减，在（m，+∞）上单调递增；
（2）当m=e时，$h（x）=lnx+\frac{e}{x}$，不等式为$lnn+\frac{e}{n}-lnx-\frac{e}{x}＜\frac{e}{n}$
即$lnn＜lnx+\frac{e}{x}$
只需$lnn＜（lnx+\frac{e}{x}）_{min}$
由（1）知，$g（x）=lnx+\frac{e}{x}$在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴当x=m时，g_min（x）=g（e）=2
故lnn＜2，可得0＜n＜e²
∴n的取值范围为（0，e²）．

点评 本题考查了，利用导数求函数的单调区间，运用了等价转换等数学思想，是一道导数的综合题，难度中等．