Question

4．如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°；记AC₁=λAB，则λ的值为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设出空间中的一组基底，把$\overrightarrow{A{C}_{1}}$ 用基底表示，得到$|\overrightarrow{A{C}_{1}}|$与$|\overrightarrow{AB}|$的关系得答案．

解答 解：记$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{A{A_1}}=\overrightarrow c$，且$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|=|\overrightarrow c|=k$，
则$＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞=＜\overrightarrow{b，}\overrightarrow c＞=＜\overrightarrow c，\overrightarrow a＞={60°}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}=k•k•cos60°=\frac{1}{2}{k}^{2}$；
∴$|\overrightarrow{A{C}_{1}}{|}^{2}$=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}+|\overrightarrow{c}{|}^{2}$$+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=$3{k^2}+2（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}）{k^2}=6{k^2}$，
∴$|\overrightarrow{A{C_1}}|=\sqrt{6}k$，即$A{C_1}=\sqrt{6}k$；
$AB=|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow a|=k$，
∴$λ=\frac{{A{C_1}}}{AB}=\frac{{\sqrt{6}k}}{k}=\sqrt{6}$，
故选：A．

点评 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力．灵活运用向量求解减少了计算量，是中档题．