Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=$\sqrt{2}$，CD=1．
（1）证明：MN∥平面PCD；
（2）证明：MC⊥BD；
（3）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）首先以DA，DC，DP三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，写出图形中点的坐标，根据已知$\overrightarrow{DA}$为平面PCD的一条法向量，要证明MN∥平面PCD，只要证明$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{DA}$，即求$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}=0$即可；
（2）求出$\overrightarrow{MC}，\overrightarrow{BD}$的坐标，求$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{BD}=0$，从而得到$\overrightarrow{MC}⊥\overrightarrow{BD}$，这样便得出MC⊥BD；
（3）容易看出$\overrightarrow{DC}$为平面PAD的一条法向量，可设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$．设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为θ，从而根据cosθ=$|cos＜\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{n}＞|$即可求出cosθ，也就是求出了平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．

解答 解：根据已知，DA，DC，DP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

D（0，0，0），A（$\sqrt{2}$，0，0），B（$\sqrt{2}$，1，0），C（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），M（$\frac{\sqrt{2}}{2}，0，\frac{\sqrt{2}}{2}$），N（$\frac{\sqrt{2}}{2}，1，0$）；
（1）证明：$\overrightarrow{DA}=（\sqrt{2}，0，0）$为平面PCD的一条法向量，$\overrightarrow{MN}=（0，1，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DA}=0$；
∴$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{DA}$；
∴MN∥平面PCD；
（2）证明：$\overrightarrow{MC}$=（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，1，-\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{BD}=（-\sqrt{2}，-1，0）$；
∴$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{BD}=1-1+0=0$；
∴$\overrightarrow{MC}⊥\overrightarrow{BD}$；
∴MC⊥BD；
（3）$\overrightarrow{DC}=（0，1，0）$为平面PAD的一条法向量，$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{2}，1，-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{PC}=（0，1，-\sqrt{2}）$；
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}x+y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\sqrt{2}z}\end{array}\right.$，取z=1，∴$\overrightarrow{n}=（0，\sqrt{2}，1）$；
设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为θ，则：
cosθ=|cos$＜\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}•1}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
∴平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，线线垂直，以及求二面角的方法，线面垂直的性质，平面法向量的概念及求法，两非零向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式．