Question

9．设f^-1（x）为f（x）=2^x-2+$\frac{x}{2}$，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f^-1（x）的最大值为4．

Answer 1

分析 由f（x）=2^x-2+$\frac{x}{2}$在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f^-1（x）在[$\frac{1}{4}，2$]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f^-1（x）的最大值．

解答 解：由f（x）=2^x-2+$\frac{x}{2}$在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[$\frac{1}{4}，2$]，
可得y=f^-1（x）在[$\frac{1}{4}，2$]上为增函数，
因此y=f（x）+f^-1（x）在[$\frac{1}{4}，2$]上为增函数，
∴y=f（x）+f^-1（x）的最大值为f（2）+f^-1（2）=1+1+2=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．