Question

8．（1）有时一个式子可以分拆成两个式子，求和时可以达到相消化简的目的，如我们初中曾学
过：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+$…+$\frac{1}{99×100}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$）=1-$\frac{1}{100}$=$\frac{99}{100}$
请用上面的数学思维来证明如下：$\frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin4x}+\frac{1}{sin8x}+\frac{1}{sin16x}$+$\frac{1}{sin32x}$=cotx-cot32x（注意：cotx=$\frac{cosx}{sinx}$）
（2）当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，且$\frac{sin8x-sinx}{sinxsin8x}$=$\frac{sin4x+sin2x}{sin2xsin4x}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由cotx-cot2x=$\frac{cosx}{sinx}$-$\frac{cos2x}{sin2x}$=$\frac{1}{sin2x}$，裂项即可得证．
（2）由（1）化简已知等式可得cot$\frac{x}{2}$-cotx=cotx-cot8x，由同角三角函数关系式可得tan$\frac{x}{2}$=-cot8x，从而可求8x=90°+$\frac{x}{2}$+180°•k，即可解得x的值．

解答 解：（1）证明：∵cotx-cot2x=$\frac{cosx}{sinx}$-$\frac{cos2x}{sin2x}$=$\frac{2co{s}^{2}x-（2co{s}^{2}x-1）}{sin2x}$=$\frac{1}{sin2x}$，
∴$\frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin4x}+\frac{1}{sin8x}+\frac{1}{sin16x}$+$\frac{1}{sin32x}$
=（cotx-cot2x）+（cot2x-cot4x）+（cot4x-cot8x）+（cot8x-cot16x）+（cot16x-cot32x）
=cotx-cot32x，即可得证．
（2）∵$\frac{sin8x-sinx}{sinxsin8x}$=$\frac{sin4x+sin2x}{sin2xsin4x}$，∴$\frac{1}{sinx}$=$\frac{1}{sin2x}$+$\frac{1}{sin4x}$+$\frac{1}{sin8x}$，
∴由（1）可得：cot$\frac{x}{2}$-cotx=cotx-cot8x，
cot$\frac{x}{2}$=2cotx-cot8x，
cot$\frac{x}{2}$-2cotx=-cot8x，
cot$\frac{x}{2}$-2×$\frac{1-co{t}^{2}\frac{x}{2}}{cot\frac{x}{2}}$=-cot8x，
∴tan$\frac{x}{2}$=-cot8x
∴8x=90°+$\frac{x}{2}$+180°•k
∴x=12°+24°•k
∴x=12°，36°，60°，84°．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，简单的类比推理，综合性较强，属于中档题．