Question

3．若曲线C在顶点为O的角α的内部，A、B分别是曲线C上相异的任意两点，且α≥∠AOB，我们把满足条件的最小角α叫做曲线C相对点O的“确界角”．已知O为坐标原点，曲线C的方程为y=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1+{x}^{2}}，x≥0}\\{2-\sqrt{1-{x}^{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，那么它相对点O的“确界角”等于（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{5π}{12}$
• C． $\frac{7π}{12}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线相切；再由两直线的夹角公式即可得到所求的“确界角”．

解答 解：画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线相切或曲线的渐近线，

设它们的方程分别为y=k₁x，y=k₂x，
当x≥0时，y′=f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，
∵$\lim_{n→+∞}\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$=1，
∴渐近线y=k₁x的倾斜角为$\frac{π}{4}$，
当x＜0时，函数的导数f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$，
设切点为（n，2-$\sqrt{1-{n}^{2}}$），
则对应的切线方程为y-（2-$\sqrt{1-{n}^{2}}$）=$\frac{n}{\sqrt{1-{n}^{2}}}$（x-n），
令x=0，y=0，则-（2-$\sqrt{1-{n}^{2}}$）=$\frac{-{n}^{2}}{\sqrt{1-{n}^{2}}}$，
解得n=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则y=k₂x的斜率k₂=f′（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\sqrt{3}$，
则切线y=k₂x的倾斜角$\frac{2π}{3}$，
由两直线的夹角θ=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$，
故选：B

点评 本题考查新定义“确界角”及应用，考查导数的应用：求切线，利用导数的几何意义是解决本题的关键．