Question

19．列表讨论函数y=$\frac{4（x+1）}{{x}^{2}}$-2的升降、凹凸、极值、拐点，并求出水平、垂直的切线．

Answer 1

分析 先求导得到函数的单调性质和极值，再求导得到函数的凸凹性和拐点，由图得到切线方程．

解答 解：∵y=$\frac{4（x+1）}{{x}^{2}}$-2，
∴y′=-4（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{{x}^{3}}$），
∴y″=8（$\frac{1}{{x}^{3}}$+$\frac{3}{{x}^{4}}$），

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，+∞）
y′	-	极小值	+	极大值	-
y	单调递减	-3	单调递增	无	单调递减

，

x	（-∞，-3）	-3	（-3，0）	0	（0，+∞）
y′	-	极小值	+		-
y″	单调递减	$-\frac{4}{27}$	单调递增	无	单调递增

，
又图表和图象可知，
函数y在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减，在（-2，0）上单调递增，
在（-∞，0），（0，+∞）上均为凹函数，
当x=-2时有极小值，极小值为-3，无极大值，
拐点为x=-3，
水平切线为x=-3，垂直切线为x=0．

点评 本题考查了函数升降、凹凸、极值、拐点，并求出水平、垂直的切线等性质，关键是求导，属于中档题．