Question

6．两条直线l₁：3x+4y+1=0和l₂：5x+12y-1=0相交，则其顶点的角平分线所在直线的方程为7x-4y+9=0或8x+14y+1=0．

Answer 1

分析 联立方程组可得交点坐标，由夹角公式可得所求直线的斜率，可得直线的点斜式方程，化为一般式可得．

解答 解：联立方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y+1=0}\\{5x+12y-1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即两直线的交点为（-1，$\frac{1}{2}$），
又可得直线l₁和l₂的斜率分别为k₁=$-\frac{3}{4}$，k₂=$-\frac{5}{12}$，
设所求直线的斜率为k，则$|\frac{-\frac{3}{4}-k}{1-\frac{3}{4}k}|$=$|\frac{-\frac{5}{12}-k}{1-\frac{5}{12}k}|$，
当$\frac{-\frac{3}{4}-k}{1-\frac{3}{4}k}$=$\frac{-\frac{5}{12}-k}{1-\frac{5}{12}k}$时，方程可化为k²+1=0无实数解；
当$\frac{-\frac{3}{4}-k}{1-\frac{3}{4}k}$=-$\frac{-\frac{5}{12}-k}{1-\frac{5}{12}k}$时，方程可化为28k²-33k-28=0，
分解因式可得（4k-7）（7k+4）=0，解得k=$\frac{7}{4}$或k=$-\frac{4}{7}$，
当k=$\frac{7}{4}$时，可得直线的方程为y-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{4}$（x+1）即7x-4y+9=0；
当k=-$\frac{4}{7}$时，可得直线的方程为y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{4}{7}$（x+1）即8x+14y+1=0．
故答案为：7x-4y+9=0或8x+14y+1=0

点评 本题考查两直线的夹角公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．