Question

6．对正整数n，x_n是方程nx³+2x-n=0的实数根，记a_n=[（n+1）x_n]（n=2，3，…）（其中符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.4]=3，[-3.4]=-4），则
（1）a₃=3；
（2）$\frac{1}{2015}（{a_2}+{a_3}+…+{a_{2016}}）$=1009．

Answer 1

分析 （1）设t=（n+1）x，得到x=$\frac{t}{n+1}$，构造函数，利用函数的单调性以及函数的零点，判断a_n=[（n+1）X_n]=n然后求出a₃的值．
（2）直接利用等差数列求和公式以及（1）的结果，直接求解即可

解答 解：（1）设t=（n+1）x，则x=$\frac{t}{n+1}$，
∴nx³+2x-n=n•$\frac{{t}^{3}}{（n+1）^{3}}$+2•$\frac{t}{n+1}$-n，
记为g（t）=n•$\frac{{t}^{3}}{（n+1）^{3}}$+2•$\frac{t}{n+1}$，-n，n∈N，
当n≥2，则g（t）是增函数，
方程g（t）=0只有一个实根t_n． 
∵g（n+1）=2＞0，g（n）=$\frac{n（1+n-{n}^{2}）}{（n+1）^{3}}$＜0，
∴n＜t_n＜n+1，
即n＜（n+1）x_n＜n+1，
∴a_n=[（n+1）x_n]=n，
∴a₃=3．
（2）由（1）可知，a_n=[（n+1）x_n]=n，
∴$\frac{1}{2015}$（a₂+a₃+…+a₂₀₁₆）=$\frac{1}{2015}$×$\frac{（2+2016）×2015}{2}$=1009．
故答案为：3，1009．

点评 本题考查递推数列的应用以及函数的单调性的应用函数的零点，数列求和的基本方法，考查分析问题解决问题以及计算能力，综合性较强，难度较大．