Question

18．已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，sin（A-B）=$\frac{1}{5}$，若AB=12，求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanA=2tanB，tan（A+B）=-$\frac{3}{4}$，将tanA=2tanB代入上式求得tanB的值，可得tanA的值，再根据AB=AD+DB=$\frac{CD}{tanA}$+$\frac{CD}{tanB}$=12，求得AB边上的高CD的值，可得△ABC的面积为$\frac{1}{2}$AB•CD 的值．

解答 解：锐角三角形ABC中，∵sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，∴A+B∈（$\frac{π}{2}$，π），cos（A+B）=-$\frac{4}{5}$．
∵sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{3}{5}$，sin（A-B）=sinAcosBcosAsinB=$\frac{1}{5}$，
∴sinAcosB=$\frac{2}{5}$，cosAsinB=$\frac{1}{5}$，
∴tanA=2tanB．
∵sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，∴A+B∈（$\frac{π}{2}$，π），cos（A+B）=-$\frac{4}{5}$．
tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{3}{4}$，将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan²B-4tanB-1=0
解得tanB=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{6}}{2}$，因为B为锐角，所以tanB=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，∴tanA=2tanB=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．
设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=$\frac{CD}{tanA}$+$\frac{CD}{tanB}$=$\frac{3CD}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$=12，
∴CD=4（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$），∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$AB•CD=24（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）．

点评 此题考查了两角和与差的正弦、正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意锐角三角形这个条件，属于中档题．