Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n+1=2a_n（n∈N^*）且a₂是S₂与1的等差中项．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，且对?n∈N^*，T_n＜λ恒成立．求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₂是S₂与1的等差中项列式求出首项，则{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列．由等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$，说明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n可求，结合T_n＜λ恒成立求得实数λ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n（n∈N^*），
∴S₂=a₁+a₂=a₁+2a₁=3a₁，
则4a₁=3a₁+1，a₁=1．
∴{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列．
∴${a}_{n}=1×{2}^{n-1}={2}^{n-1}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$．
∵$\frac{1}{{2}^{n}}＞0$，∴${T}_{n}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＜2$．
∴对任意n∈N^*，T_n＜λ恒成立，则λ≥2．
∴实数λ的最小值为2．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是中档题．