Question

3．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为CD的中点，M为CC₁的中点，N为BC的中点．
（1）求证：A₁P⊥DN；
（2）求证：A₁PA⊥平面MND；
（3）求二面角M-DN-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质证明DN⊥平面A₁AP即可证明A₁P⊥DN；
（2）根据面面垂直的判定定理即可证明A₁PA⊥平面MND；
（3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，根据三角形的边角关系即可求二面角M-DN-C的正切值．

解答 证明：（1）∵P为CD的中点，N为BC的中点．
∴DP=CN，AD=DC，AP=DN，
则△ADB≌△DCN，
则∠DPA=∠CND，
即OPCN四点共圆，
则以PN为直径，则∠PON=90°，
即DN⊥AP，
∵A₁A⊥平面ABCD；
∴A₁A⊥DN，
∵A₁A∩AP=A，
∴DN⊥平面A₁AP，
∵A₁P?平面A₁AP，
∴DN⊥A₁P，
即A₁P⊥DN；
（2）由（1）知DN⊥平面A₁AP，DN?平面MND，
∴平面A₁PA⊥平面MND；
（3）∵C₁C⊥平面ABCD；
∴过C作CH⊥DN于H，连接C₁H，
则C₁H⊥DN，
即∠C₁HC是二面角M-DN-C的平面角，
设正方体的棱长为2，则CM=1，CD=2，CN=1，
则DN=$\sqrt{5}$，
∵CH•DN=CD•CN，
∴CH=$\frac{CD•CN}{DN}$=$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
则二面角M-DN-C的正切值tan∠C₁HC=$\frac{CM}{CH}$=$\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查空间线面垂直的性质以及面面垂直的判定，以及二面角的求解，根据相应的判定定理以及作出二面角的平面角是解决本题的关键．考查学生的推理能力．