Question

3．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足（a+b+c）（a-b+c）=4，若A、B、C成等差数列，则ac的值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由三角形三个内角成等差数列，利用等差数列的性质求出B的度数，利用余弦定理表示出cosB，将B的度数代入整理得到关系式，已知等式变形后代入计算求出ac的值即可．

解答 解：∵△ABC中，A、B、C成等差数列，且A+B+C=π，
∴2B=A+C=π-B，即B=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，即a²+c²-b²=ac，
∵（a+b+c）（a-b+c）=（a+c）²-b²=a²+c²-b²+2ac=4，
∴ac+2ac=4，即ac=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$

点评 此题考查了余弦定理，等差数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．