Question

7．如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．则异面直线OB与MD所成角余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 取AB中点N，连接MN，由三角形中位线定理得MN∥OB，则∠DMN为异面直线OB与MD所成角，然后通过求解直角三角形得到△DMN的三边长，再由余弦定理得答案．

解答 解：如图，
取AB中点N，连接MN，
又M为OA的中点，∴MN∥OB，则∠DMN为异面直线OB与MD所成角，
∵底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，
可得DM=$\sqrt{5}$，MN=$\sqrt{2}$，DN=$\sqrt{5}$．
在△DMN中，cos∠DMN=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}{2×\sqrt{5}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题考查异面直线及其所成的角，考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，是中档题．