Question

4．已知函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+2sin²x．求f（x）在[-π，0]上的单调递减区间．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）在[-π，0]上的单调递减区间．

解答 解：∵函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+2sin²x=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2•$\frac{1-cos2x}{2}$ 
=-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函数f（x）的减区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
再结合x∈[-π，0]，可得f（x）在[-π，0]上的单调递减区间为[-π，-$\frac{5π}{6}$]、[-$\frac{π}{3}$，0]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于基础题．