Question

19．已知两个函数f（x）=7x²-28x-c，g（x）=2x³+4x²-40x
（1）若对任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求实数c的取值范围
（2）若对任意x₁∈[-3，3]，x₂∈[-3，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）构造函数k（x）=f（x）-g（x）=-2x³+3x²+12x-c，x∈[-3，3]，求出k（x）的最大值k（x）_大≤0即可．
（2）分别求出f（x），g（x）在[-3，3]上的最大值和最小值，求出f（x）_大≤g（x）_小即可．

解答 解：（1）∵f（x）=7x²-28x-c，g（x）=2x³+4x²-40x．
令k（x）=f（x）-g（x）=-2x³+3x²+12x-c，x∈[-3，3]，
k′（x）=-6x²+6x+12，
由-6x²+6x+12=0，可得x=-1，x=2，
由-6x²+6x+12＞0，可得-1＜x＜2
由-6x²+6x+12＜0，可得x＜-1或x＞2，

x	[-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3]
y′	-	0	+	0	-
y	减	极小值	增	极大值	减

则k（-3）=45-c，k（3）=9-c，k（-1）=-7-c，k（2）=18-c，
即有k（x）的最大值为45-c，最小值-7-c，
∵对任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，
∴45-c≤0，即c≥45；
（2）f（x）=7x²-28x-c=7（x-2）²-28-c，x∈[-3，3]，
即有f（x）的最大值为f（-3）=147-c，
g（x）=2x³+4x²-40x．g′（x）=6x²+8x-40，x∈[-3，3]，
可得g（x）在（-3，2）递减，在（2，3）递增，
得出g（x）的最小值为g（2）=-48，
∵对任意x₁，x₂∈[-3，3]，都有f（x₁）≤g（x₂），
∴147-c≤-48，即有c≥195．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，注意等价变形是解题的关键．