Question

14．在直角坐标系中，定义两点P（x₁，y₁）与Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+
|y₁-y₂|，现给出四个命题：
（1）已知P（1，3），Q（sin²α，cos²α）（α∈R），则d（P，Q）为定值；
（2）已知P，Q，R三点不共线，则必有d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，R）；
（3）用|PQ|表示P，Q两点间的距离，那么|PQ|≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$d（P，Q）；
（4）若P，Q是椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值是2$\sqrt{13}$．
在以上命题中，你认为正确的命题有①③④．（只填写所有正确的命题的序号）

Answer 1

分析 先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．

解答 解：①已知P（1，3），Q（sin²α，cos²α）（α∈R），则d（P，Q）=|1-sin^2α|+|3-cos²α|=cos²α+2+sin²α=3为定值，正确；
②设P（x，y），O（0，0），则d（0，P）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示数轴上的x到1和0的距离之和，其最小值为1，故不正确；
③若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|=$\sqrt{{（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+{（y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，因为2（a²+b²）≥（a+b）²，所以|PQ|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$d（P，Q），正确；
④过P（1，3）与Q（5，7）的直线方程为y=x+2，点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，则|x-1|+|y-3|+|x-5|+|y-7|=2|x-1|+2|x-5|=8，所以|x-1|+|x-5|=4，所以1≤x≤5，
因为x∈Z，所以x=1，2，3，4，5，所以满足条件的点A只有5个，正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查两点之间的“直角距离”的定义，绝对值的意义，关键是明确P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）两点之间的“直角距离”的含义．