Question

9．已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求证：函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（2）当x≥0时，若关于x的不等式f（x）≥$\frac{5}{2}$x³+（a-3）x+1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求f′（0）与f′（1），看两值是否异号，然后证明f′（x）在[0，1]上单调性，即可证明函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（2）由题意得到e^x-$\frac{1}{2}$x²-ax-1≥0，构造g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-ax-1，分类讨论求出g（x）的最值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）∵f′（0）=e⁰-3=-2＜0，f′（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0，
令h（x）=f′（x）=e^x+4x-3，则h′（x）=e^x+4＞0，
∴f′（x）在[0，1]上单调递增，
∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零点，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点
（2）由 f（x）≥$\frac{5}{2}$x³+（a-3）x+1，
得e^x+2x²-3x≥$\frac{5}{2}$x³+（a-3）x+1
∴e^x-$\frac{1}{2}$x²-ax-1≥0，
令g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-ax-1，x≥0，
则g（0）=0，g′（x）=e^x-x-a，
令h（x）=e^x-x-a，
则h′（x）=e^x-1，
∵x≥0，
∴h′（x）≥0，
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（0）=1-a，
①当a≤1时，h（x）≥0恒成立，即g′（x）≥0，
∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（0）=0，
②当a＞1时，存在x₀∈[0，+∞），使h（x₀）=0，即g′（x₀）=0，
当x∈[0，x₀）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，x₀）上单调递减，
∴g（x）＜g（0）=0，这与g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾，
综上所示a≤1．

点评 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，化归与转化思想，属于中档题．