Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过点（1，$\frac{1}{2}$）作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点和上顶点
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）点P为椭圆C上任意一点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：c=1，k_OQ=$\frac{1}{2}$，则k_AB=-2，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设与直线AB的平行的直线方程为y=-2x+t，代入椭圆方程，由△=0得t=±2$\sqrt{6}$，故当t=-2$\sqrt{6}$时，求出点P到直线AB的最大距离，即可求△PAB面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，Q（1，$\frac{1}{2}$），可知：c=1，k_OQ=$\frac{1}{2}$，则k_AB=-2，…（3分）
所以直线AB的方程是y=-2（x-1），即y=-2x+2，即b=2．…（5分）
所以a²=b²+c²=5，
故椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$------（7分）
（Ⅱ）设与直线AB的平行的直线方程为y=-2x+t，
代入椭圆方程得24x²-20tx+5t²-20=0，
由△=0得t=±2$\sqrt{6}$，
故当t=-2$\sqrt{6}$时，点P到直线AB的最大距离为d=$\frac{2（\sqrt{6}+1）}{\sqrt{5}}$，
又因为A（1，0），B（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），所以|AB|=$\frac{2}{\sqrt{5}}$
故△PAB积的最大值$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}×$$\frac{2}{\sqrt{5}}$×$\frac{2（\sqrt{6}+1）}{\sqrt{5}}$=$\frac{2（\sqrt{6}+1）}{5}$------（14分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．