Question

12．已知焦点在y轴上的椭圆C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）上一点P的切线与椭圆C₁交于不同两点M，N．点A为椭圆C₁的右顶点，记线段MN与PA的中点分别为G，H点，当直线CH与x轴垂直时，求h的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过将点Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）、y=c代入椭圆方程，计算即得结论；
（2）通过设P（t，t²+h），则直线MN的方程为：y=2tx-t²+h，代入椭圆方程，利用中点坐标公式及韦达定理计算即得结论．

解答 解：（1）∵椭圆过点Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，
将y=c代入椭圆方程得：x=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，
解得：a=2，b=1，
∴椭圆C₁的方程为：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设P（t，t²+h），由y′=2x可知切线斜率k=2t，
∴直线MN的方程为：y=2tx-t²+h，
将其代入椭圆方程得：4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
化简得：4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，
∵直线MN与椭圆交于不同的两点，∴△＞0，
即△=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0              （*）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN中点横坐标为x₀，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{t（{t}^{2}-h）}{1+{t}^{2}}$，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{t（{t}^{2}-h）}{2（1+{t}^{2}）}$，
设线段PA中点的横坐标为x₃，则x₃=$\frac{1+t}{2}$，
由已知有x₀=x₃，即$\frac{t（{t}^{2}-h）}{2（1+{t}^{2}）}$=$\frac{1+t}{2}$，
显然t≠0，h=-（t+$\frac{1}{t}$+1），
当t＞0时，t+$\frac{1}{t}$≥2，当且仅当t=1时取等号，
此时h≤-3，不符合（*）式，舍去；
当t＜0时，（-t）+$\frac{1}{-t}$≥2，当且仅当t=-1时取等号，
此时h≥1，符合（*）式；
综上所述，h的最小值为1．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．