Question

7．曲线C上任意一点p与两点（-2，0），（2，0）连线的斜率的乘积为-$\frac{1}{2}$．
（1）求曲线C 的轨迹方程；
（2）过点M（1，1）的直线l与曲线C交于A、B两点，且M点是线段AB的中点，求直线l的方程并求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）分别求出点P和两点的斜率，根据题目条件列式求解．
（2）直线和椭圆联立方程，利用中点公式求得斜率并利用弦长公式求得弦长．

解答 解：（1）设点P的坐标为（x，y），则点P与（-2，0）的斜率为k₁=$\frac{y-0}{x+2}=\frac{y}{x+2}$
点P与（2，0）的斜率为${k}_{2}=\frac{y-0}{x-2}=\frac{y}{x-2}$，所以${k}_{1}{k}_{2}=\frac{y}{x+2}×\frac{y}{x-2}=\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}=-\frac{1}{2}$，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，即曲线C的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$
（2）①∵点M（1，1）在圆内，∴当斜率不存在时，直线方程为x=1，但是M（1，1）不是AB中点，故不合题意．
②直线斜率存在，设直线方程为y=k（x-1）-1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$整理得：（1+2k²）x²-4k（k+1）x+2（k+1）²-4=0
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}+4k}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2（k+1）^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$
∵M点是线段AB的中点，∴1=$\frac{2{k}^{2}+2k}{1+2{k}^{2}}$，解k=$\frac{1}{2}$．
∴直线方程为x-2y-2=0．
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}×\sqrt{{2}^{2}-3}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题，属常考题型，中档题．