Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1）过点P（-1，-1），c为椭圆的半焦距，且c=$\sqrt{2}$b．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P作两条相互垂直的直线l₁，l₂与椭圆C分别交于另两点M，N，若线段MN的中点在x轴上，求此时直线MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件推导出$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，且c=$\sqrt{2}$b，由此能求出a，b，然后求解椭圆方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用点差法，求出直线MN的方程．

解答 解：（Ⅰ）由c=$\sqrt{2}$b，可得a²=3b²，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1）过点P（-1，-1），
可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，解得a²=4，b²=$\frac{4}{3}$，
所以椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}=1$．．…（4分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}^{2}+3{y}_{1}^{2}=4\\{x}_{2}^{2}+3{y}_{2}^{2}=4\end{array}\right.$，
两式相减得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
因为线段MN的中点在x轴上，
所以y₁+y₂=0，从而可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0．…（7分）
若x₁+x₂=0，则N（-x₁，-y₁）．
因为过点P作两条相互垂直的直线l₁，l₂，所以PM⊥PN，
所以$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，得x₁²+y₁²=2．
又因为x₁²+3y₁²=4，所以解得x₁=±1，
所以M（-1，1），N（1，-1）或M（1，-1），N（-1，1）．
所以直线MN的方程为y=-x．…（10分）
若x₁-x₂=0，则N（x₁，-y₁），
因为PM⊥PN，所以$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，得y₁²=（x₁+1）²+1．
又因为x₁²+3y₁²=4，所以解得x₁=-$\frac{1}{2}$或-1，
经检验：x=-$\frac{1}{2}$满足条件，x=-1不满足条件．
综上，直线MN的方程为x+y=0或x=-$\frac{1}{2}$．…（13分）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．