Question

4．如图，曲线C₁：x²=-4y，曲线C₂：x²+（y-m）²=1（m＞0），过曲线C₁上的一点P（2，-1）作曲线C₁的切线l，且l与C₂恰好相切，切点为Q．
（Ⅰ）求曲线C₂与直线l的方程；
（Ⅱ）若点N为C₂上任意一异于Q的动点，求△NPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出直线l的方程，联立方程组，根据直线和圆相切，得到判别式△=0，解出k的值，从而求出直线l的方程，再根据直线l和c₂相切，得到距离d=1，从而求出c₂方程；
（Ⅱ）设出Q的坐标，联立方程，求出Q的坐标，从而求出|PQ|的长，设d为点N到直线PQ的距离，则S_△NPQ=$\frac{|PQ|}{2}$d，显然d的最大值为圆的直径，即点N与点Q位于直径的两端，从而求出三角形面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：直线l的斜率显然存在，
设直线l的方程为y=k（x-2）-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）-1}\\{{x}^{2}=-4y}\end{array}\right.$，消去y得x²+4kx-8k-4=0，
∴△=（4k）²-4（-8k-4）=0，解得：k=-1，
∴直线l的方程是：x+y-1=0，
又∵直线l与圆c₂相切，
∴d=$\frac{|m-1|}{\sqrt{2}}$=1，解得：m=$\sqrt{2}$+1，或m=1-$\sqrt{2}$（舍去），
∴c₂的方程是x²+${[y-（\sqrt{2}+1）]}^{2}$=1；
（Ⅱ）设Q（x，y），则有$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{y-（1+\sqrt{2}）}{x}=1}\end{array}\right.$，解得：x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|PQ|=$\sqrt{{（2+\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}{+（-1-1-\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$+1，
设d为点N到直线PQ的距离，则S_△NPQ=$\frac{|PQ|}{2}$d，
显然d的最大值为圆的直径，即点N与点Q位于直径的两端，
∴△NPQ面积的最大值为：S_△NPQ=$\frac{|PQ|d}{2}$=$\frac{（1+2\sqrt{2}）×2}{2}$=2$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考察了求直线和曲线的方程问题，考察圆的切线问题，熟练掌握直线和圆的关系，两点间的距离，点到线的距离等基础知识是解答问题的根本，本题是一道中档题．