Question

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若$\frac{a}{b}=\frac{b+\sqrt{3}c}{a}$，sinC=2$\sqrt{3}$sinB，则tanA$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理求得和已知等式分别求得b和c，b和a的关系，最后利用余弦定理求得cosA的值，求得A，则tanA可求得．

解答 解：∵sinC=2$\sqrt{3}$sinB，
∴c=2$\sqrt{3}$b，
∴$\frac{a}{b}=\frac{b+\sqrt{3}c}{a}$=$\frac{b+6b}{a}$，
∴a²=7b²，
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+12{b}^{2}-7{b}^{2}}{4\sqrt{3}{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$，
∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题常用公式，应能熟练和灵活运用．