Question

19．已知圆O：x²+y²=2，过点A（1，1）的直线交圆O所得的弦长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，且与x轴的交点为双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点F（c，0）（c＞2），双曲线E的离心率为$\frac{3}{2}$．
（1）求双曲线E的方程；
（2）过点P（$\frac{4}{3}$，5）作动直线l交双曲线右支于M、N两点，点Q异于M，N，且在线段MN上运动，并满足关系$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|ON|}$，试证明点Q恒在一条直线上．

Answer 1

分析 （1）设出直线方程，运用点到直线的距离公式，以及弦长公式计算即可得到斜率k，再由c＞2，可得c=3，由离心率公式可得a=2，再由a，b，c的关系可得双曲线方程；
（2）设出M，N，Q的坐标，设$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|ON|}$=λ，则$\overrightarrow{MP}$=-λ$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{MQ}$=-λ$\overrightarrow{QN}$，利用向量法建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（1）设过点A（1，1）的直线为y-1=k（x-1），
即为kx-y+1-k=0，
圆心O到直线的距离为d=$\frac{|1-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
由弦长公式可得2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2\sqrt{2-{d}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
解得d=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
由$\frac{|1-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，解得k=-2或-$\frac{1}{2}$．
则直线为y-1=-2（x-1），令y=0，则x=$\frac{3}{2}$＜2舍去，
或直线y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），令y=0，则x=3＞2成立，
即有c=3，
由离心率为为$\frac{3}{2}$．即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．解得a=2，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
则双曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
设过点P（$\frac{4}{3}$，5）作动直线l交双曲线右支于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）两点，
点Q（x，y），
则5x₁²-4y₁²=20，5x₂²-4y₂²=20，
∵$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|ON|}$，
∴设$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|ON|}$=λ，则$\overrightarrow{MP}$=-λ$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{MQ}$=-λ$\overrightarrow{QN}$，
则$\frac{{x}_{1}-λ{x}_{2}}{1-λ}$=$\frac{4}{3}$，$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$=x，$\frac{{y}_{1}-λ{y}_{2}}{1-λ}$=5，$\frac{{y}_{1}+λ{y}_{2}}{1+λ}$=y，
则$\frac{{x}_{1}-λ{x}_{2}}{1-λ}$•$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$=$\frac{4}{3}$x，$\frac{{y}_{1}-λ{y}_{2}}{1-λ}$•$\frac{{y}_{1}+λ{y}_{2}}{1+λ}$=5y，
即$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{λ}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{1-{λ}^{2}}$=$\frac{4}{3}$x，$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{λ}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{1-{λ}^{2}}$=5y，
则5×$\frac{4}{3}$x-4×5y=$\frac{5{{x}_{1}}^{2}-5{λ}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{1-{λ}^{2}}$-$\frac{4{{y}_{1}}^{2}-4{λ}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{1-{λ}^{2}}$=$\frac{5{{x}_{1}}^{2}-4{{y}_{1}}^{2}-{λ}^{2}（{{x}_{2}}^{2}-4{{y}_{2}}^{2}）}{1-{λ}^{2}}$=$\frac{20-20{λ}^{2}}{1-{λ}^{2}}=20$，
即$\frac{4}{3}$x-4y=4，
即x-3y=3，
故x-3y-3=0，
故点Q恒在一条直线上x-3y-3=0．

点评 本题主要考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，综合性较强，运算量较大，难度较大．