Question

15．如图，在等边三角形ABC中，P在线段AB上，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，其中0＜λ＜1，若$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AB}$=0，则λ的值为$\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 将$\overrightarrow{PC}$表示为$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AC}$，利用向量数量积公式，将关系式化简得出关于λ的方程并解出即可．注意0＜λ＜1．

解答 解：设等边三角形ABC的边长为1．则|$\overrightarrow{AP}$|=λ，|$\overrightarrow{PB}$|=1-λ．（0＜λ＜1），
由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AB}$=0，可得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AB}$=0
∴λ×（1-λ）cos180°+1×1×cos60°+λ×1×cos180°=0．
化简-$\frac{1}{2}$+λ=-λ（1-λ），整理λ²-2λ+$\frac{1}{2}$=0，解得λ=$\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$（λ=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$＞1舍去）．
故答案为：$\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查向量数量积的运算，平面向量基本定理，关键是将$\overrightarrow{PC}$表示为$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AC}$，进行转化，以便应用向量数量积公式计算化简．