Question

10．已知Ω是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y＜6}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$表示的平面区域，A是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＜4}\\{y＞0}\\{x-2y＞0}\end{array}\right.$表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 分别画出两个区域对应的图形，求出面积，利用几何概型公式解答．根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合Ω和集合A对应的平面区域，得到它们都直角三角形．计算出这两个直角三角形的面积后，再用符合题的面积即小三角形面积，除以整个图形即大三角形的面积得到概率

解答 解：区域Ω是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y＜6}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$表示的平面区域如图三角形区域OEF，面积为$\frac{1}{2}×6×6=18$；
A是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＜4}\\{y＞0}\\{x-2y＞0}\end{array}\right.$表示的平面区域，如图阴影部分，面积为$\frac{1}{2}×4×2$=4，
由几何概型公式可得点P落入区域A的概率为：$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$；
故答案为：$\frac{2}{9}$．

点评 本题着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型．准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键