Question

20．如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=n$\overrightarrow{AC}$，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则|$\overrightarrow{MN}$|的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 利用向量的运算法则：三角形法则将$\overrightarrow{MN}$用三角形的边对应的向量表示，利用向量模的平方等于向量的平方，将|$\overrightarrow{MN}$|²表示成m的二次函数，求出二次函数的最值

解答 解：因为$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=n$\overrightarrow{AC}$，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点
所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$）=$\frac{1}{2}$（1-m）$\overrightarrow{AB}$$+\frac{1}{2}$（1-n）$\overrightarrow{AC}$，又m+n=1，
所以$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}（1-m）\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}m\overrightarrow{AC}$，
所以|$\overrightarrow{MN}$|²=$\frac{1}{4}（1-m）^{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{4}{m}^{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{1}{2}（1-m）m\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，△ABC是边长为1的等边三角形，
所以上式整理得|$\overrightarrow{MN}$|²=$\frac{1}{4}（1-m）^{2}+\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}（1-m）m$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}m）^{2}+\frac{3}{16}$，
所以当m=$\frac{1}{2}$时，|$\overrightarrow{MN}$|²最小值为$\frac{3}{16}$，
所以|$\overrightarrow{MN}$|的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
故选C．

点评 考查向量的运算的三角形法则；考查向量模的平方等于向量的平方；利用二次函数求最值．