Question

11．在锐角△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{a}{sinA}=\frac{2c}{\sqrt{3}}$．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理化简已知的式子求出sinC，再由锐角三角形的特征求出角C的大小；
（Ⅱ）根据余弦定理和条件可得7=a²+b²-ab，利用三角形的面积公式和条件求出ab和a²+b²的值，由完全平方公式即可求出a+b的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，$\frac{a}{sinA}=\frac{2c}{\sqrt{3}}$，
根据正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{2c}{\sqrt{3}}$，则sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC是锐角三角形，∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
则7=a²+b²-ab，即ab=a²+b²-7，①
∵△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，
解得ab=6，代入①可得a²+b²=13，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=25，则a+b=5．

点评 本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及整体代换的应用，属于中档题．