Question

3．如图，已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=OC=4，OB=3．
（1）求O点到平面ABC的距离；
（2）设A₁、B₁、C₁依次为线段OA，OB，OC内的点，证明：△A₁B₁C₁是锐角三角形．

Answer 1

分析 （1）利用等体积法，即可求O点到平面ABC的距离；
（2）可以通过余弦定理解决．

解答 （1）解：由题意，AC=4$\sqrt{2}$，AB=BC=5，所以S_△ABC=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\sqrt{17}$=2$\sqrt{34}$，
设O点到平面ABC的距离为h，则$\frac{1}{3}×2\sqrt{34}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×3$，
所以h=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$；
（2）证明：设OA₁=a；OB₁=b；OC₁=c，则A₁B₁²=a²+b²，同理B₁C₁²=c²+b²，A₁C₁²=a²+c²，
在三角形A₁B₁C₁中，由余弦定理得：cosA=$\frac{{2a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}•\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$＞0，
同理可证cosB＞0，cosC＞0，所以，△A₁B₁C₁是锐角三角形．

点评 本题考查体积公式的运用，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．