Question

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，b=2$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{6}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $2\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据正弦定理和条件求出sinB的值，由内角的范围求出角B的值，由内角和定理和三角形面积公式再求出三角形的面积．

解答 解：由题意知，a=2，b=2$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{6}$，
根据正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，则sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又b＞a，则B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
当B=$\frac{π}{3}$时，C=$π-\frac{π}{6}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；
当B=$\frac{2π}{3}$时，C=$π-\frac{π}{6}-\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{6}$，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
综上可得，△ABC的面积是2$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题考查了正弦、余弦定理，内角和定理，以及三角形的面积公式的应用，属于中档题．