Question

7．在以棱长为1的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求：
（1）异面直线AB₁与BC₁所成角的大小；
（2）直线AC₁与平面BCB₁C₁所成角的余弦值；
（3）二面角A-CD-B₁的大小．

Answer 1

分析 （1）连接AD₁，B₁D₁，将直线BC₁平移到AD₁，根据异面直线所成角的定义可知∠D₁AB₁为异面直线AB₁与BC₁所成的角，而三角形D₁AB₁为等边三角形，即可得到此角；
（2）由题意，∠AC₁B为直线AC₁与平面BCB₁C₁所成角；
（3）连接B₁C，则∠B₁CB为二面角A-CD-B₁的平面角．

解答 解：（1）连接AD₁，B₁D₁，BC₁∥AD₁
∴∠D₁AB₁为异面直线AB₁与BC₁所成的角
而三角形D₁AB₁为等边三角形
∴∠D₁AB₁=60°；
（2）由题意，∠AC₁B为直线AC₁与平面BCB₁C₁所成角，
∵BC₁=$\sqrt{2}$，AC₁=$\sqrt{3}$，
∴cos∠AC₁B=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（3）连接B₁C，则∠B₁CB为二面角A-CD-B₁的平面角，
∴二面角A-CD-B₁的平面角为45°．

点评 本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．