Question

16．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，2asinBcosC+2csinBcosA=$\sqrt{2}$b且a＞b，则∠B=45°．

Answer 1

分析 根据正弦定理化简已知的式子，再由内角和定理和诱导公式求出sinB的值，根据条件和特殊角的正弦值求出角B．

解答 解：由题意知，2asinBcosC+2csinBcosA=$\sqrt{2}$b，
根据正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB，
∵sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）
∴sinBsin（A+C）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB，
又sinB≠0，则sin（A+C）=sin（180°-B）=sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又a＞b，所以A＞B，则B=45°，
故答案为：45°．

点评 本题考查了正弦定理，内角和定理，以及诱导公式的应用，属于中档题．