Question

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n满足3n²-n=2S_n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{3}^{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得a_n，验证n=1成立后得数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{3}^{n+1}}$，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵3n²-n=2S_n，①
∴当n≥2时，3（n-1）²-（n-1）=2S_n-1 ，②
①-②得6n-4=2a_n，
∴a_n=3n-2，
∵n=1时，得3×1²-1=2a₁，∴a₁=1，符合上式．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2；
（2）∵${b}_{n}=\frac{{a}_{n}+2}{{3}^{n+1}}=\frac{3n}{{3}^{n+1}}=\frac{n}{{3}^{n}}$
∴${T}_{n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}+…+\frac{n}{{3}^{n}}$，③
∴$3{T}_{n}=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}+…+\frac{n}{{3}^{n-1}}$，④
④-③得$2{T}_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}-\frac{n}{{3}^{n}}$
=$\frac{1×[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n}{{3}^{n}}=\frac{2[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{3}-\frac{n}{{3}^{n}}$．
∴${T}_{n}=\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{n+1}}-\frac{n}{2•{3}^{n}}$．

点评 本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．