Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=$\sqrt{3}$，点F是PD的中点，点E在CD上移动．
（1）求三棱锥E-PAB的体积；
（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；
（3）求证：PE⊥AF．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD，直接把三棱锥E-PAB的体积转化为P-ABE的体积求解；
（2）由点E，F分别为CD、PD的中点，利用三角形中位线定理得EF∥PC，再由线面平行的判定定理得EF∥平面PAC；
（3）由PA⊥平面ABCD可得CD⊥PA．再由CD⊥AD，结合线面垂直的判定得CD⊥平面PAD．得到AF⊥DC，又PA=AD，点F是PD的中点，可得AF⊥PD．最后由线面垂直的判定得AF⊥平面PDC，则答案得证．

解答 （1）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴${V}_{E-PAB}={V}_{P-ABE}=\frac{1}{3}{S}_{△ABE•PA}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（2）解：当点E为BC的中点时，EF∥平面PAB．
理由如下：∵点E，F分别为CD、PD的中点，∴EF∥PC．
又∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC；
（3）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD．
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
又AF?平面PAD，∴AF⊥DC．
∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC，
又PE?平面PDC，∴PE⊥AF．

点评 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．