Question

15．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为4$\sqrt{2}$π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用圆锥的底面半径和高相等，侧面积为4$\sqrt{2}$π，求出圆锥的底面半径，再利用等体积法求出圆锥底面中心到截面的距离．

解答 解：设圆锥的底面半径为r，则高r，母线长为$\sqrt{2}$r，
∵侧面积为4$\sqrt{2}$π，
∴$πr•\sqrt{2}r$=4$\sqrt{2}$π，
∴r=2，
∵过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，
∴S_截面=$\frac{\sqrt{3}}{4}•（2\sqrt{2}）^{2}$=2$\sqrt{3}$，
设圆锥底面中心到截面的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}•2\sqrt{3}h$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2•2$，
∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查圆锥的侧面积，考查体积的计算，考查学生的计算能力，正确运用等体积法是解题的关键．