Question

10．平面直角坐标系xOy中，曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ是参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．
（1）写出曲线C的普通方程并把它化成极坐标方程．
（2）若A、B分别为曲线C上两点，且OA⊥OB，求：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）消去参数，可得曲线C的普通方程，从而可化成极坐标方程．
（2）设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），利用极坐标方程求：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$的值．

解答 解：（1）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ是参数），可得曲线C的普通方程$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
极坐标方程为$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{9}+\frac{si{n}^{2}θ}{4}$；
（2）设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{9}+\frac{si{n}^{2}θ}{4}$+$\frac{co{s}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{9}+\frac{si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{4}$=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{13}{36}$．

点评 本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．