Question

20．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=（cos16°，cos74°），$\overrightarrow{BC}$=（2cos61°，2cos29°），则△ABC面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，|$\overrightarrow{AC}$|$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 根据题目给出的向量的坐标求出AB，BC，然后运用数量积公式求出∠B，最后利用正弦定理求三角形的面积；
利用向量的加法求出$\overrightarrow{AC}$的坐标，表示出它的平方，然后利用三角函数公式化简求值．

解答 解：由已知得到|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{co{s}^{2}16°+co{s}^{2}74°}$=1，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{4co{s}^{2}61°+4co{s}^{2}29°}$=2，
又cosB=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{-2cos16°cos61°-2cos74°cos29°}{2}$=-（sin74°cos61°+cos74°sin61°）=-sin（74°+61°）=-sin135°=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以△ABC的面积为$\frac{1}{2}AB×BC×sinB$=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=（cos16°+2cos61°，cos74°+2cos29°），
所以|$\overrightarrow{AC}$|²=（cos16°+2cos61°）²+（cos74°+2cos29°）²=（sin74°+2cos61°）²+（cos74°+2sin61°）²=5+4（sin74°cos61°+cos74°sin61°）=5+4sin135°=5+2$\sqrt{2}$，
所以|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}；\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．

点评 本题考查了平面向量数量积的坐标表示及应用，给出了平面当中两个向量的坐标，可以利用数量积公式求两个向量的夹角，考查了两角和与差的正弦公式的运用；属于中档题．