Question

15．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，那么$\frac{1}{2}$[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{20}{27}$]
• B． （0，$\frac{16}{27}$]
• C． （0，$\frac{9}{16}$]
• D． （0，$\frac{7}{16}$]

Answer 1

分析 由三角函数恒等变换的应用化简原式可得$\frac{1}{2}$cos（A-B）sin²C+$\frac{1}{2}$cosCsin²C，利用不等式abc≤（$\frac{a+b+c}{3}$）³当且仅当a=b=c时取“=”，即可求得最大值．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C
=$\frac{1}{2}$cos（A-B）sin²C+$\frac{1}{2}$cosCsin²C
≤$\frac{1}{2}$sin²C+$\frac{1}{2}$cosCsin²C（当且仅当A=B时取“=”）
=$\frac{1}{2}$（1+cosC）sin²C
=$\frac{1}{2}$（1+cosC）（1-cos²C）
=$\frac{1}{2}$（1+cosC）（1-cosC）（1+cosC）
=$\frac{1}{4}$（1+cosC）（2-2cosC）（1+cosC）
≤$\frac{1}{4}$（$\frac{1+cosC+1+cosC+2-2cosC}{3}$）³=$\frac{1}{4}×（\frac{4}{3}）^{3}$=$\frac{16}{27}$．当且仅当“1+cosC=2-2cosC”，即cosC=$\frac{1}{3}$且A=B时取“=”．
又∵角A，B，C为△ABC的三个内角，
∴由和差化积公式可得：$\frac{1}{2}$[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C=sinAsinBsin²C＞0．
综上，可得$\frac{1}{2}$[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C的取值范围是：（0，$\frac{16}{27}$]．
故选：B．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，综合性技巧性较强，属于难题．