Question

7．对于函数f（x）=te^x-x，若存在实数a，b（a＜b），使得f（x）≤0的解集为[a，b]，则实数t的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 转化te^x≤x，为t的不等式，求出表达式的最大值，以及单调区间，即可得到t的取值范围．

解答
解：te^x≤x（e是自然对数的底数），转化为t≤$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令y=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
则y′=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{e}^{2x}}$，令y′=0，可得x=1，
当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当x＜1时，y′＞0，函数y递增．
则当x=1时函数y取得最大值$\frac{1}{e}$，
由于存在实数a、b，使得f（x）≤0的解集为[a，b]，
则由右边函数y=$\frac{x}{{e}^{x}}$的图象可得t的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）．
故答案为（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查函数的导数的最值的应用，考查转化思想与计算能力．属于中档题．