Question

17．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+cosx，x∈R，
（1）求函数f（x）的最大值，并写出当f（x）取得最大值时x的取值集合；
（2）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，求f（2α）的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式将函数f（x）进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最大值，并写出当f（x）取得最大值时x的取值集合；
（2）根据条件求出sinα和cosα的值，利用二倍角公式进行化简求值．

解答 解：f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+cosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx+cosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx
=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
当x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，
即x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z时，函数f（x）取得最大值$\sqrt{3}$．
此时x的取值集合是{x|x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
（2）由（1）知f（x）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴f（α+$\frac{π}{6}$）=）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$+α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$cosα=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴cosα=$\frac{3}{5}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\frac{4}{5}$，
sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$，
cos2α=2cos²α-1=-$\frac{7}{25}$，
∴f（2α）=$\sqrt{3}sin（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α+$\frac{3}{2}$cos2α=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{24}{25}-\frac{3}{2}×\frac{7}{25}$=$\frac{24\sqrt{3}-21}{50}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质以及二倍角公式的应用，利用两角和差的正弦公式和辅助角公式将三角函数进行化简是解决本题的关键．