Question

2．设F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，AF⊥x轴，BF∥OA，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则该双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 设k_OB=-$\frac{b}{a}$，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=0，可得k_AB=$\frac{a}{b}$，再求出A，B的坐标，可得k_AB=$\frac{3b}{a}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，设k_OB=-$\frac{b}{a}$，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴k_AB=$\frac{a}{b}$，
直线FB的方程为y=$\frac{b}{a}$（x-c），
与y=-$\frac{b}{a}$x联立可得B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$）
∵A（c，$\frac{bc}{a}$），
∴k_AB=$\frac{3b}{a}$=$\frac{a}{b}$，
∴b²=$\frac{1}{3}$a²，
∴c²=a²+b²=$\frac{4}{3}$a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．